Главная

№43 (январь 2014)  

Архив

Тематические разделы

Музыка в Израиле
Классическая музыка
Современная музыка
Исполнительское искусство Музыкальная педагогика
Литературные приложения

Оркестры, ансамбли, музыкальные театры

Афиша

Наши авторы

 Партнёры

Контакты

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ МУЗЫКИ – ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ВОЗМОЖНОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

Андрей Денисов

Проблема использования математических методов в музыкальной науке[1] до сих пор не теряет своей актуальности. И хотя ее пик уже давно прошел, острота многих вопросов, связанных с этой темой, до сих пор сохраняется неизменной. В связи с этим уместно оценить реальные предпосылки ее возникновения, а также и дальнейшие перспективы развития.

Особенно яркий всплеск интереса к использованию математических методов в музыкознании заметен в 60-80-е годы ХХ века, показательно его совпадение с развитием других инновационных стратегий в этой области (в частности, в это же время происходит становление музыкальной семиотики)[2]. Характерно, что параллельно происходила аналогичная тенденция и в других сферах гуманитарной науки. Так, математические методы начали использоваться в лингвистике, стиховедении, психологии и т.д. Стремление к точности описаний, применению количественных методов в целом становится общим для самых различных областей знания. Отчасти это было связано с усилением техноцентристского начала в самой культуре этого периода. Развитие ЭВМ, теории информации и кибернетики само по себе стимулировало использование новых методов в науке.

В музыкознании оно было инициировано и другими предпосылками. Во-первых, это характерное именно для ХХ века сочетание противоположных направлений в развитии теории музыки. С одной стороны наблюдается дифференциация отдельных областей, их специализация (теория ритма, лада, фактуры, например) и, соответственно, необходимость разработки соответствующих методологических позиций. С другой – склонность к универсализму, поиску некоей общей парадигмы, объяснительной модели, претендующей на всеохватность и глобальность[3]. Кроме того, и само музыкальное искусство ХХ века требовало значительного обновления методологических и концепционных стратегий. Резкая трансформация музыкального мышления, а в результате – техники композиции и арсенала художественных приемов[4] неизбежно требовали перестройки самого аналитического аппарата.

Наконец, следует вспомнить и о магистральной для науки ХХ века тенденции к междисциплинарному синтезу, диалогическому взаимодействию разных областей знания – так появились на свет математическая лингвистика и нейролингвистика, музыкальная информатика и т.д. Эта тенденция также стимулировала использование в музыкознании новых методов – не только художественное творчество, но и сама наука ХХ века испытала радикальную смену методологических оснований, как и самих принципов научного мышления.

Характерно, что к математическим методам обращаются ученые с принципиально различными интересами научными позициями[5]. Среди них - Ю. Кон, Г. Орлов, Н. Тимофеев, Э. Алексеев, М. Ройтерштейн, М. Борода, Л. Александрова, А. Маклыгин, Ю. Холопов, Ю. Кац, А. Милка. При этом в отечественной науке обобщающие работы по данной теме фактически отсутствуют. Можно сказать, что обращение авторов к математическим методам имело преимущественно спонтанный характер – сами задачи, которые они решали, обуславливали их использование. Оказывается очевидным, что создание в музыкальной теории науки, аналогичной математической лингвистике пока что видится лишь в очень отдаленной перспективе.

Впрочем, внедрение математических методов встречало не только поддержку, но и значительное сопротивление. Аргументы, выдвигавшиеся их противниками, заслуживают отдельного внимания, и среди них необходимо выделить следующие:

           1) применение математических методов лишь усложняет процесс исследования и не дает существенно новых результатов;

           2) сама природа музыкального искусства не поддается формализации и, соответственно – описанию в системе точных методов[6].

Следует отметить, что эти аргументы имеют вполне законные основания[7]. Отсутствие единых методологических оснований в применении математических методов, их внешняя сложность, на первый взгляд противостоящая сугубо гуманитарному характеру музыкальной науки создают естественный барьер в их дальнейшем использовании. Неудивительно, что до сих пор актуальными остаются проблемы определения реальных возможностей математических методов и границ их применимости, а также критериев, показывающих целесообразность их использования в конкретных ситуациях.

В первую очередь, необходимо выделить основные области, в которых математические методы могут обрести реальные перспективы. Это: (1) построение абстрактных моделей фундаментальных категорий теории музыки – таких, как лад, система метроритмических отношений, и т.д., в этом случае точные методы представляют новую, высшую ступень абстракции по сравнению с «традиционной» теорией музыки; (2) использование точных методов в областях, требующих обработки больших массивов информации (в том числе – это статистические методы)[8].

При этом все существующие математические методы исследования музыкального искусства следует разделить, во-первых, на количественные и неколичественные. Количественные методы оперируют точными соотношениями параметров музыкального текста (например – число тактов, ритмических единиц, интервалика[9]). Неколичественные – связаны с абстрактными соотношениями, имеющими обобщенный характер (изучение логики музыкальной композиции, симметрии в музыкальном искусстве, и т.д.).

Во-вторых, следует говорить о методах дескриптивных и моделирующих. В первом случае параметры музыкального текста переводятся на язык математики, описываются в обобщенной системе символов или числовых соотношений, упрощающих аналитические операции. Во втором – язык математики позволяет создать принципиально новую модель, обладающую определенными эвристическими возможностями.

Среди количественных методов отметим опыты исследование вероятностных характеристик ладовых тяготений на основе анализа частоты появления ладовых единиц по отношению друг к другу (например, частота появления I-й ступени после VII-й и т.д.)[10]. В результате подсчета этих частот всех возможных комбинаций создается вероятностная модель звувовысотных отношений, которая отображает степень предсказуемости[11]. Аналогичный подход лежит и в основе приложения закона Ципфа-Мандельброта к музыкальному тексту, использованного М. Бородой[12]. В общем плане этот закон формулируется так:

Pi = k *(i + r)-g

где  pi  – частота появления лексемы с номером i; r, k и g – константы

          Фактически в основе приложения данного закона к синтаксическим единицам музыкального текста лежит представление, что они изоморфны по отношению к элементам текста вербального.

Другой пример – предложенное Ю.Коном исследование плотности вертикали, то есть - параметра, отображающего ее в комплексном виде на основе учета различных факторов – интервального состава, пространственных отношений, регистра, тембра и т.д.[13]

Неколичественные методы предполагают обращение к тем аспектам организации музыкального текста, которые допускают представление в символически-обобщенной форме. Так, Н. Тимофеевым был открыт метод геометрического анализа канонов, при котором с помощью геометрических фигур в декартовой системе координат отображалась схема вступления голосов. Это позволило автору установить ряд важных закономерностей в организации простых канонов, а также принципов их подобия[14]

Как уже было сказано выше, дескриптивные методы призваны использовать язык математики для упрощения обработки информации. Так, отдельно здесь следует выделить методы, отображающие психологические особенности восприятия этих параметров – уже упоминавшаяся выше плотность вертикали (Ю. Кон), плотность соноблока (А. Маклыгин). Именно дескриптивный подход лежит в основе теории метротектонизма Г. Конюса, анализа ритмических закономерностей, предложенного Ю. Коном[15].

Отметим, что дескриптивные методы в своей основе призваны отобразить объективные предпосылки восприятия соответствующих параметров текста. Такова, например предложенная А. Милкой идея канонической интенсивности[16]. Закономерность здесь оказывается довольно простой: чем короче расстояние вступления между голосами канона, тем каноническая интенсивность выше, и наоборот. В результате для канона с числом голосов n каноническая интенсивность рассчитывается по следующей формуле:

m
Fn =   Σ f
1

где F – общая каноническая интенсивность канона, n – число его голосов, m – число возможных двухголосных канонов, f – каноническая интенсивность двухголосного канона (величина, обратная расстоянию вступления риспосты

        На основе подсчета канонической интенсивности можно построить графики ее изменения, и сопоставить их для разных канонов.

Моделирующие методы призваны с помощью средств математики создать абстрагированную модель, дающую возможность увидеть принципиально новые свойства исследуемого объекта[17]. Таково изучение системы ладовых отношений на основе теории вероятностей (Ю. Кац), теории графов (М. Ройтерштейн), особенностей восприятия художественного времени (Г. Орлов). Последняя построена в форме графической зависимости между длительностью произведения (Т), временем созерцания (tc) субъективно воспринимаемой длительностью произведения (tp) и характеристикой кажущейся плотности событий произведения (а)[18]:

                                                                      T

                                                        а

 

                                  

                                   0                                 tp                       tc

       Г. Орлов комментирует эту модель следующим образом: «таким образом мы обнаруживаем временное измерение музыкального опыта, принципиально отличное от проективного времени. Оба они оцениваются по одной и той же временной шкале, но отражают весьма разные аспекты музыкального опыта. Одно из них является субъективным отпечатком, проекцией его длительности, другое же характеризует объем его содержания и потому его можно определить как время созерцания»[19].

Подводя предварительные итоги, отметим, что корректность применения математических методов, в первую очередь, зависит от четкого представления о том, что же именно является объектом анализа. Очевидно, что с одной стороны, необходимо разграничивать 

- анализ закономерностей, лежащих в основе материально существующей субстанции музыки, и

- анализ особенностей психологии их восприятия,.

с другой – ситуации, предполагающие исследование закономерностей

- текста как данности (например - теория сложного контрапункта С. Танеева, геометрический метод анали канонов Н. Тимофеева)

- языка как потенциально существующей, порождающей системы (в том числе – анализ ее отдельных грамматических подсистем – ладовой, метроритмической, фактурной).

Каковы же реальные перспективы использования математических методов в музыкальной науке? Так, отвечая на этот вопрос, М. Арановский писал о двух направлениях, а именно, об (1) изучении музыки с ее неспецифической стороны; (2) использовании точных методов в качестве вспомогательных, дополняющих уже существующие[20]. При этом одним из существенных препятствий следует считать необходимость изначальной формализации самих теоретических категорий музыкальной науки[21]. Другая проблема – необходимость гибкого применения этих методов, отсутствие однозначных критериев их использования.

Очевидно, что математические методы должны существовать в комплексе с традиционными, расширяя их возможности там, где это необходимо. Их результативность, судя по всему, зависит как от корректной постановки исходной задачи, так и от самого процесса формализации. В области теории музыки он должен производиться в несколько стадий – от создания предварительной модели, в системе понятий теории музыки, до ее «перевода» на язык самой математики.

Не случайно «математизация» теории музыки до сих пор имеет скорее эпизодический, чем системный характер. Сам вопрос о ее целесообразности до сих пор можно считать открытым. Это не случайно – очевидно, и теперь сохраняют свою актуальность слова Л. Мазеля: «теория музыки сейчас нуждается и в приближении ее методов к методам точных наук и в том, чтобы преодолеть свойственные многим ее разделам черты узкого технократизма, то есть, стать наукой подлинно гуманитарной»[22].


[1] В самом общем плане их ситуации их использования образует два направления: первое связано с анализом исходного звукового материала музыки (в акустике, физике звука), второе - с исследованием организующих закономерностей музыки как вида искусства. Здесь и далее речь будет идти только о втором направлении.

[2] Об этом наглядно говорит появление значительного числа сборников и материалов конференций, например: «Точные методы в исследованиях культуры и искусства» (1971), «Точные методы и музыкальное искусство» (1972), «Применение методов других наук в музыкознании» (1978) и т.д.

[3] Так, еще Р. Грубер писал: «в основе использования математики лежит стремление к построению всесторонней, на материале испытанной и материалом проверенной системы точного музыкознания» (Грубер Р. О «формальных» методах в музыкознании // Временник государственного института искусств. – Л., 1927, с. 54). Попутно отметим, что обращение к математике (как, впрочем, и к семиотике) оказалось также связанным с поиском универсального метаязыка, который позволил бы в единых формах отобразить все богатство когнитивной деятельности человека.

[4] Достаточно вспомнить про появление методов стохастической композиции, а также спектральной и электроакустической музыки.

[5] В настоящей работе мы ограничиваемся примерами только из отечественной музыкальной науки.

[6] Неприятие математических методов отчасти объясняется еще и существующим психологическим барьером: слишком значителен разрыв между точными дисциплинами и гуманитарными – начиная со сферы образования и заканчивая понятийным аппаратом.

[7] Особенно если учесть, что математические методы подчас могут скрывать полное отсутствие оригинальных авторских идей. Остается лишь вспомнить слова В.Налимова о том, что «наряду с математизацией знаний происходит и математизация глупостей; язык математики, как это ни странно, оказывается пригодным для выполнения любой из этих задач» (Налимов В. Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков. – М., 1979,  с. 176).

[8] Так, последнее может иметь применение в фольклористике и медиевистике, исследовании ритмики.

[9] Вспомним известную теорию сложного контрапункта С. Танеева.

[10] См., например, Милка А. Теоретические основы функциональности в музыке. – СПб., 1982.

[11] Отметим, что в лингвистике такой же в сущности метод используется при построении частотных списков фонем и лексем.

[12] Борода М. Принципы организации повторов на микроуровне музыкального текста: Автореф. дис. ... канд. искусствоведения. –  Тбилиси: 1979.

[13] Кон Ю. Об одном свойстве вертикали в атональной музыке // Музыка и современность, Вып. 7. - М. 1971.

[14] Тимофеев Н. Превращаемость простых канонов. – М., 1981.

[15] Кон Ю. Заметки о ритме в «Великой священной пляске» из «Весны священной» Стравинского // Теоретические проблемы музыкальных форм и жанров / сост. и авт. предисл. JI. Г. Раппопорт. М., 1971.

[16] Милка А. Теоретические основы функциональности в музыке, с.118 и далее.

[17] О моделях разной степени абстракции см. концепцию Ю. Шрейдера (Шрейдер Ю. О понятии «математическая модель языка». – М.: "Знание", 1971).

[18] Орлов Г. Древо музыки. – Вашингтон - Санкт-Петербург: "Советский композитор", 1992, с. 381-395.

[19] Там же, с. 386.

[20] Ю. Кон в связи с этим также отмечает: «музыкознание может претендовать на математизацию, скорее всего, в ограниченных масштабах» (Кон Ю. Избранные статьи о музыкальном языке. – СПб., 1994, с. 93).

[21] См. Арановский М. Интонация, знак и «точные методы» // Советская музыка. – 1980, №10, с. 108-109. Об аналогичной проблеме в литературоведении писал Ю. Лотман: основные понятия литературоведения еще не формализованы, поэтому, «прежде чем приступить к применению математических методов, следует самой литературоведческой науке придать вид, который подобное применение допускал бы» (Лотман Ю. Лекции по структуральной поэтике / Ученые записки Тартуского университета: 160. Труды по знаковым системам 1. – Тарту, 1964, с. 12-13).

[22] Мазель Л. Проблемы классической гармонии. – М., 1972, с. 12.